Упр.19.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$$; б) $$\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)$$.

Воспользуемся формулами синуса и косинуса разности:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

а)

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos x-\cos\frac{\pi}{3}\sin x.$$

Так как $$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},$$ то

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x.$$

Следовательно, тождество доказано.

б)

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos x+\sin\frac{\pi}{3}\sin x.$$

Подставим значения тригонометрических функций:

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x.$$

Следовательно, тождество доказано.