Упр.19.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

• а) $$\sin x \cdot \cos 3x+\cos x \cdot \sin 3x>\frac{1}{2}$$;
• б) $$\cos 2x \cdot \cos 5x-\sin 2x \cdot \sin 5x<-\frac{1}{3}$$;
• в) $$\sin\frac{x}{4}\cdot\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{4}\cdot\sin\frac{x}{2}<\frac{1}{3}$$;
• г) $$\sin 2x \cdot \sin 5x+\cos 2x \cdot \cos 5x>-\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

а) $$\sin x\cdot \cos 3x+\cos x\cdot \sin 3x>\frac12$$

По формуле синуса суммы:

$$\sin(x+3x)>\frac12$$

$$\sin 4x>\frac12$$

Тогда

$$\frac{\pi}{6}+2\pi k<4x<\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

$$\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}<x<\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z$$

б) $$\cos 2x\cdot \cos 5x-\sin 2x\cdot \sin 5x<-\frac13$$

По формуле косинуса суммы:

$$\cos(2x+5x)<-\frac13$$

$$\cos 7x<-\frac13$$

Пусть $$\alpha=\arccos\left(-\frac13\right).$$ Тогда

$$\alpha+2\pi k<7x<2\pi-\alpha+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

$$\frac{\arccos\left(-\frac13\right)+2\pi k}{7}<x<\frac{2\pi-\arccos\left(-\frac13\right)+2\pi k}{7},\quad k\in\mathbb Z$$

в) $$\sin\frac{x}{4}\cdot \cos\frac{x}{2}-\cos\frac{x}{4}\cdot \sin\frac{x}{2}<\frac13$$

По формуле синуса разности:

$$\sin\left(\frac{x}{4}-\frac{x}{2}\right)<\frac13$$

$$\sin\left(-\frac{x}{4}\right)<\frac13$$

$$\sin\frac{x}{4}>-\frac13$$

Пусть $$\beta=\arcsin\frac13.$$ Тогда

$$-\beta+2\pi k<\frac{x}{4}<\pi+\beta+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

$$-4\arcsin\frac13+8\pi k<x<4\pi+4\arcsin\frac13+8\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

г) $$\sin 2x\cdot \sin 5x+\cos 2x\cdot \cos 5x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

По формуле косинуса разности:

$$\cos(5x-2x)>-\frac{\sqrt3}{2}$$

$$\cos 3x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

Так как $$\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6},$$ получаем

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi k<3x<\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

$$-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}<x<\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{24}+\frac{\pi k}{2}<x<\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z$$

б) $$\frac{\arccos\left(-\frac13\right)+2\pi k}{7}<x<\frac{2\pi-\arccos\left(-\frac13\right)+2\pi k}{7},\quad k\in\mathbb Z$$

в) $$-4\arcsin\frac13+8\pi k<x<4\pi+4\arcsin\frac13+8\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

г) $$-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3}<x<\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z$$