Упр.19.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Зная, что $$\sin t=\frac{3}{5}$$, $$0<t<\frac{\pi}{2}$$, вычислите: а) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+t\right)$$; б) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)$$; в) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)$$; г) $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+t\right)$$.

Так как $$\sin t=\frac{3}{5}$$ и $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$t$$ лежит в первой четверти, значит

$$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

1. $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos t+\cos\frac{\pi}{3}\sin t$$

   $$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{4}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{4\sqrt{3}+3}{10}.$$

2. $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\cos\frac{\pi}{2}\cos t-\sin\frac{\pi}{2}\sin t$$

   $$=0\cdot\frac{4}{5}-1\cdot\frac{3}{5}=-\frac{3}{5}.$$

3. $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\sin\frac{\pi}{2}\cos t+\cos\frac{\pi}{2}\sin t$$

   $$=1\cdot\frac{4}{5}+0\cdot\frac{3}{5}=\frac{4}{5}.$$

4. $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+t\right)=\cos\frac{\pi}{3}\cos t-\sin\frac{\pi}{3}\sin t$$

   $$=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{5}=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}.$$

Ответ: а) $$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$$; б) $$-\frac{3}{5}$$; в) $$\frac{4}{5}$$; г) $$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$$.