Упр.19.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$; б) $$\sin x+\cos x=1$$; в) $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=1$$; г) $$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$$.

Используем формулы приведения к виду суммы синуса и косинуса.

а)

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=1$$
$$\sin\frac{\pi}{4}\sin x+\cos\frac{\pi}{4}\cos x=1$$
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1$$
$$x-\frac{\pi}{4}=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

б)

$$\sin x+\cos x=1$$
$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin\frac{\pi}{4}\sin x+\cos\frac{\pi}{4}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

в)

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=1$$
$$\cos\frac{\pi}{6}\cos x-\sin\frac{\pi}{6}\sin x=1$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1$$
$$x+\frac{\pi}{6}=2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

г)

$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=1$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x=\frac{1}{2}$$
$$\cos\frac{\pi}{6}\cos x-\sin\frac{\pi}{6}\sin x=\frac{1}{2}$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$$
$$x+\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
в) $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
г) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.