Упр.19.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\cos x=0{,}5$$;
   б) $$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

а) Преобразуем левую часть по формуле косинуса разности:

$$\sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)-\cos x= \frac12$$

$$\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x+\sin\frac{\pi}{4}\sin x\right)-\cos x=\frac12$$

$$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)-\cos x=\frac12$$

$$\cos x+\sin x-\cos x=\frac12$$

$$\sin x=\frac12$$

Тогда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) Используем формулу синуса разности:

$$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sqrt{2}\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\frac{x}{2}\right)+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\cos\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\pm\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$