Упр.19.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
   а) $$\sin 0{,}2x \cdot \cos 0{,}8x + \cos 0{,}2x \cdot \sin 0{,}8x = \cos 3x \cdot \cos 2x + \sin 3x \cdot \sin 2x$$, $$x \in [0; 3\pi]$$;
   б) $$\cos 0{,}7x \cdot \cos 1{,}3x — \sin 0{,}7x \cdot \sin 1{,}3x = \sin 7x \cdot \cos 9x — \sin 9x \cdot \cos 7x$$, $$x \in [-\pi; \pi]$$.

Используем формулы:

$$\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\sin(\alpha+\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=\cos(\alpha+\beta),$$

$$\sin A \cos B-\cos A \sin B=\sin(A-B).$$

а)

$$\sin 0{,}2x\cdot \cos 0{,}8x+\cos 0{,}2x\cdot \sin 0{,}8x=\cos 3x\cdot \cos 2x+\sin 3x\cdot \sin 2x$$

Преобразуем левую и правую части:

$$\sin(0{,}2x+0{,}8x)=\cos(3x-2x)$$

$$\sin x=\cos x$$

$$\tg x=1$$

Общее решение:

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$

б)

$$\cos 0{,}7x\cdot \cos 1{,}3x-\sin 0{,}7x\cdot \sin 1{,}3x=\sin 7x\cdot \cos 9x-\sin 9x\cdot \cos 7x$$

Преобразуем обе части:

$$\cos(0{,}7x+1{,}3x)=\sin(7x-9x)$$

$$\cos 2x=\sin(-2x)=-\sin 2x$$

$$\tg 2x=-1$$

Общее решение:

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

$$x=-\frac{5\pi}{8},\ -\frac{\pi}{8},\ \frac{3\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}$$; б) $$-\frac{5\pi}{8},\ -\frac{\pi}{8},\ \frac{3\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8}$$.