Упр.19.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьший положительный корень (в градусах) уравнения:

1. а) $$\sin x \cdot \cos 45+\cos x \cdot \sin 45=\cos 17 \cdot \cos 13-\sin 17 \cdot \sin 13$$; б) $$\cos x \cdot \cos 60-\sin x \cdot \sin 60=\sin 200 \cdot \cos 25+\cos 200 \cdot \sin 25$$.

а) Используем формулы суммы:

$$\sin x\cos 45^\circ+\cos x\sin 45^\circ=\sin(x+45^\circ),$$

$$\cos 17^\circ\cos 13^\circ-\sin 17^\circ\sin 13^\circ=\cos(17^\circ+13^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\sin(x+45^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$x+45^\circ=60^\circ+360^\circ k \quad \text{или} \quad x+45^\circ=120^\circ+360^\circ k,$$

$$x=15^\circ+360^\circ k \quad \text{или} \quad x=75^\circ+360^\circ k.$$

Наименьший положительный корень: $$15^\circ.$$

б) Преобразуем левую и правую части:

$$\cos x\cos 60^\circ-\sin x\sin 60^\circ=\cos(x+60^\circ),$$

$$\sin 200^\circ\cos 25^\circ+\cos 200^\circ\sin 25^\circ=\sin(200^\circ+25^\circ)=\sin 225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Получаем уравнение

$$\cos(x+60^\circ)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x+60^\circ=135^\circ+360^\circ k \quad \text{или} \quad x+60^\circ=225^\circ+360^\circ k,$$

$$x=75^\circ+360^\circ k \quad \text{или} \quad x=165^\circ+360^\circ k.$$

Наименьший положительный корень: $$75^\circ.$$

Ответ: а) $$15^\circ$$; б) $$75^\circ$$.