Упр.19.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Упростите выражение: а) $$\sin(a+b)-\sin a\cdot\cos b$$; б) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)-\frac{1}{2}\sin a$$; в) $$\sin a\cdot\sin b+\cos(a+b)$$; г) $$\cos\left(a+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a$$.
а) $$\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta$$
$$\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\cos\alpha\sin\beta$$
Ответ: $$\cos\alpha\sin\beta$$
б) $$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac12\sin\alpha$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac12\sin\alpha=\sin\frac{\pi}{3}\cos\alpha+\cos\frac{\pi}{3}\sin\alpha-\frac12\sin\alpha$$
$$=\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha-\frac12\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha$$
Ответ: $$\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha$$
в) $$\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)$$
$$\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)=\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta$$
Ответ: $$\cos\alpha\cos\beta$$
г) $$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha$$
$$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha$$
Ответ: $$\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha$$
