Упр.19.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = \frac{1}{2}$$; б) $$\cos 5x \cdot \cos 7x — \sin 5x \cdot \sin 7x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

Используем формулы:

$$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \sin(\alpha+\beta),$$

$$\cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha+\beta).$$

а)

$$\sin 6x \cdot \cos x + \cos 6x \cdot \sin x = \frac12$$

Тогда

$$\sin(6x+x)=\frac12,$$

то есть

$$\sin 7x=\frac12.$$

Общее решение уравнения $$\sin t=\frac12$$ имеет вид

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$7x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{42}+\frac{\pi n}{7},\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\cos 5x \cdot \cos 7x-\sin 5x \cdot \sin 7x=-\frac{\sqrt3}{2}$$

Тогда

$$\cos(5x+7x)=-\frac{\sqrt3}{2},$$

то есть

$$\cos 12x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Общее решение уравнения $$\cos t=-\frac{\sqrt3}{2}$$:

$$t=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$12x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\pm \frac{5\pi}{72}+\frac{\pi n}{6},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{42}+\frac{\pi n}{7},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\pm \frac{5\pi}{72}+\frac{\pi n}{6},\ n\in\mathbb Z.$$