Упр.19.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = 1$$;

б) $$\cos 3x \cos 5x = \sin 3x \sin 5x$$.

а) Используем формулу синуса суммы:

$$\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = \sin(2x+x)=\sin 3x.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$\sin 3x=1.$$

Отсюда

$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

б) Перенесём всё в одну сторону и применим формулу косинуса суммы:

$$\cos 3x \cos 5x-\sin 3x \sin 5x=0,$$

$$\cos(3x+5x)=0,$$

$$\cos 8x=0.$$

Тогда

$$8x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\ k\in \mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\ k\in \mathbb{Z}.$$