Упр.19.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$\frac{\sqrt{2}\cos a-2\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)-\sqrt{3}\sin a}=-\sqrt{2}\tg a$$;

б) $$\frac{\cos a-2\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)}{2\sin\left(a-\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3}\sin a}=-\sqrt{3}\tg a$$.

а) Преобразуем левую часть, используя формулы сложения и разности:

$$\frac{\sqrt{2}\cos a-2\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6}+a\right)-\sqrt{3}\sin a} = \frac{\sqrt{2}\cos a-2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos a+\sin\frac{\pi}{4}\sin a\right)}{2\left(\sin\frac{\pi}{6}\cos a+\cos\frac{\pi}{6}\sin a\right)-\sqrt{3}\sin a}$$

$$= \frac{\sqrt{2}\cos a-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a\right)}{2\left(\frac{1}{2}\cos a+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a\right)-\sqrt{3}\sin a} = \frac{\sqrt{2}\cos a-\sqrt{2}\cos a-\sqrt{2}\sin a}{\cos a+\sqrt{3}\sin a-\sqrt{3}\sin a}$$

$$= \frac{-\sqrt{2}\sin a}{\cos a} = -\sqrt{2}\tg a.$$

Тождество доказано.

б) Аналогично преобразуем левую часть:

$$\frac{\cos a-2\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)}{2\sin\left(a-\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3}\sin a} = \frac{\cos a-2\left(\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a\right)}{2\left(\sin a\cos\frac{\pi}{6}-\cos a\sin\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3}\sin a}$$

$$= \frac{\cos a-2\left(\frac{1}{2}\cos a-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a\right)}{2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a-\frac{1}{2}\cos a\right)-\sqrt{3}\sin a} = \frac{\cos a-\cos a+\sqrt{3}\sin a}{\sqrt{3}\sin a-\cos a-\sqrt{3}\sin a}$$

$$= \frac{\sqrt{3}\sin a}{-\cos a} = -\sqrt{3}\tg a.$$

Тождество доказано.