Упр.19.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Вычислите:

а) $$\sin 77 \cdot \cos 17-\sin 13 \cdot \cos 73$$;

б) $$\cos 125 \cdot \cos 5+\sin 55 \cdot \cos 85$$.

а) $$\sin 77^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \cos 73^\circ$$

Представим углы так, чтобы использовать формулы приведения:

$$\sin 77^\circ=\cos 13^\circ,\qquad \cos 73^\circ=\sin 17^\circ$$

Тогда

$$\sin 77^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \cos 73^\circ = \cos 13^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \sin 17^\circ$$

По формуле косинуса суммы:

$$\cos 13^\circ \cdot \cos 17^\circ — \sin 13^\circ \cdot \sin 17^\circ = \cos(13^\circ+17^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$

б) $$\cos 125^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cdot \cos 85^\circ$$

Используем формулы приведения:

$$\cos 125^\circ=\cos(90^\circ+35^\circ)=-\sin 35^\circ$$

$$\sin 55^\circ=\sin(90^\circ-35^\circ)=\cos 35^\circ,\qquad \cos 85^\circ=\cos(90^\circ-5^\circ)=\sin 5^\circ$$

Тогда

$$\cos 125^\circ \cdot \cos 5^\circ + \sin 55^\circ \cdot \cos 85^\circ = -\sin 35^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ$$

По формуле синуса разности:

$$-\sin 35^\circ \cdot \cos 5^\circ + \cos 35^\circ \cdot \sin 5^\circ = \sin(5^\circ-35^\circ)=\sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2}$$

Ответ: $$-\frac{1}{2}$$