Упр.18.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$3\tg^2 x+2\tg x-1=0$$; б) $$\ctg^2 2x-6\ctg 2x+5=0$$; в) $$2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$; г) $$7\ctg^2\frac{x}{2}+2\ctg\frac{x}{2}=5$$.

Положим в каждом уравнении новую переменную и решим полученные квадратные уравнения.

а)

$$3\tg^2 x+2\tg x-1=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$3t^2+2t-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac13,\qquad t_2=-1.$$

Тогда

$$\tg x=\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=\arctg \frac13+\pi n,$$

$$\tg x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\ctg^2 2x-6\ctg 2x+5=0$$

Пусть $$t=\ctg 2x$$. Тогда

$$t^2-6t+5=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 5=16,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=5,\qquad t_2=1.$$

Тогда

$$\ctg 2x=1 \quad \Rightarrow \quad 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},$$

$$\ctg 2x=5 \quad \Rightarrow \quad 2x=\arctg \frac15+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac12\arctg \frac15+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

в)

$$2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$2t^2+3t-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25,$$

$$t_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-2.$$

Тогда

$$\tg x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\arctg \frac12+\pi n,$$

$$\tg x=-2 \quad \Rightarrow \quad x=-\arctg 2+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

г)

$$7\ctg^2 \frac{x}{2}+2\ctg \frac{x}{2}=5$$

Пусть $$t=\ctg \frac{x}{2}$$. Тогда

$$7t^2+2t-5=0.$$

Найдём корни:

$$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-5)=144,$$

$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{14}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac57,\qquad t_2=-1.$$

Тогда

$$\ctg \frac{x}{2}=\frac57 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\arctg \frac75+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=2\arctg \frac75+2\pi n,$$

$$\ctg \frac{x}{2}=-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\frac{3\pi}{4}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg \frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \frac12\arctg \frac15+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=\arctg \frac12+\pi n,\ -\arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ 2\arctg \frac75+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$