Упр.18.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2\sin^2 x+3\cos x=0$$; б) $$8\sin^2 2x+\cos 2x+1=0$$; в) $$5\cos^2 x+6\sin x-6=0$$; г) $$4\sin 3x+\cos^2 3x=4$$.

а) $$2\sin^2 x+3\cos x=0$$

$$2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0$$

$$2\cos^2 x-3\cos x-2=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2-3y-2=0$$

$$D=9+16=25$$

$$y_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{3+5}{4}=2$$

Значение $$y_2=2$$ не подходит, так как $$\cos x\le 1$$.

Тогда

$$\cos x=-\frac12$$

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$8\sin^2 2x+\cos 2x+1=0$$

$$8(1-\cos^2 2x)+\cos 2x+1=0$$

$$8\cos^2 2x-\cos 2x-9=0$$

Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

$$8y^2-y-9=0$$

$$D=1+288=289$$

$$y_1=\frac{1-17}{16}=-1,\qquad y_2=\frac{1+17}{16}=\frac98$$

Значение $$y_2=\frac98$$ не подходит, так как $$\cos 2x\le 1$$.

Тогда

$$\cos 2x=-1$$

$$2x=\pi+2\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

в) $$5\cos^2 x+6\sin x-6=0$$

$$5(1-\sin^2 x)+6\sin x-6=0$$

$$5\sin^2 x-6\sin x+1=0$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$5y^2-6y+1=0$$

$$D=36-20=16$$

$$y_1=\frac{6-4}{10}=\frac15,\qquad y_2=\frac{6+4}{10}=1$$

Тогда

$$\sin x=\frac15 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

г) $$4\sin 3x+\cos^2 3x=4$$

$$4\sin 3x+1-\sin^2 3x=4$$

$$\sin^2 3x-4\sin 3x+3=0$$

Пусть $$y=\sin 3x$$. Тогда

$$y^2-4y+3=0$$

$$D=16-12=4$$

$$y_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad y_2=\frac{4+2}{2}=3$$

Значение $$y_2=3$$ не подходит, так как $$\sin 3x\le 1$$.

Тогда

$$\sin 3x=1$$

$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac15+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$; г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$.