Упр.18.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$6\cos^2 x+\cos x-1=0$$; б) $$2\cos^2 3x-5\cos 3x-3=0$$; в) $$2\cos^2 x-\cos x-3=0$$; г) $$2\cos^2 x/3+3\cos x/3-2=0$$.

а) Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение:

$$6y^2+y-1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=1^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{12},$$

откуда

$$y_1=\frac13,\qquad y_2=-\frac12.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\cos x=\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,$$

$$\cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

где $$n\in \mathbb Z.$$

б) Пусть $$y=\cos 3x.$$ Тогда

$$2y^2-5y-3=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=49.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4},$$

откуда

$$y_1=3,\qquad y_2=-\frac12.$$

Значение $$y_1=3$$ не подходит, так как $$\cos 3x\in[-1;1].$$ Поэтому

$$\cos 3x=-\frac12.$$

Следовательно,

$$3x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in \mathbb Z.$$

в) Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда

$$2y^2-y-3=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4},$$

откуда

$$y_1=\frac32,\qquad y_2=-1.$$

Значение $$y_1=\frac32$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$ Поэтому

$$\cos x=-1,$$

значит,

$$x=\pi+2\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

г) Пусть $$y=\cos \frac{x}{3}.$$ Тогда

$$2y^2+3y-2=0.$$

Дискриминант:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-2)=25.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4},$$

откуда

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=-2.$$

Значение $$y_2=-2$$ не подходит, так как $$\cos \frac{x}{3}\in[-1;1].$$ Поэтому

$$\cos \frac{x}{3}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm \pi+6\pi n,\qquad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \ x=\pm \arccos \frac13+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\pm \frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in \mathbb Z.$$

в) $$x=\pi+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

г) $$x=\pm \pi+6\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$