Упр.18.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Пусть $$y=\sin x,$$ тогда получаем квадратное уравнение:

$$3y^2-5y-2=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2\cdot 3}.$$

Тогда

$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac13.$$

Значение $$y_1=2$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$

Остаётся:

$$\sin x=-\frac13.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Пусть $$y=\sin 2x,$$ тогда:

$$3y^2+10y+3=0.$$

Найдём корни:

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,$$

$$y_{1,2}=\frac{-10\pm 8}{2\cdot 3}.$$

Получаем:

$$y_1=-3,\qquad y_2=-\frac13.$$

Значение $$y_1=-3$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1].$$

Остаётся:

$$\sin 2x=-\frac13.$$

Тогда

$$2x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Пусть $$y=\sin x,$$ тогда:

$$4y^2+11y-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=11^2-4\cdot 4\cdot(-3)=121+48=169,$$

$$y_{1,2}=\frac{-11\pm 13}{2\cdot 4}.$$

Получаем:

$$y_1=-3,\qquad y_2=\frac14.$$

Значение $$y_1=-3$$ не подходит.

Остаётся:

$$\sin x=\frac14.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Пусть $$y=\sin\frac x2,$$ тогда:

$$2y^2-3y+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2\cdot 2}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\qquad y_2=\frac12.$$

Тогда

$$\sin\frac x2=1 \quad \text{или} \quad \sin\frac x2=\frac12.$$

1) Если $$\sin\frac x2=1,$$ то

$$\frac x2=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\sin\frac x2=\frac12,$$ то

$$\frac x2=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

а) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\pi+4\pi n,\ x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$