Упр.18.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(\pi+t)=1$$;
б) $$\sin(\pi+t)+\sin(2\pi-t)-\cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)+1{,}5=0$$;
в) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\sin(\pi+t)=\sqrt{2}$$;
г) $$\sin(\pi+t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\sqrt{3}$$.

а) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)-\cos(\pi+t)=1$$

Используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+t\right)=\cos t,\qquad \cos(\pi+t)=-\cos t.$$

Тогда

$$\cos t-(-\cos t)=1,$$

$$2\cos t=1,$$

$$\cos t=\frac12.$$

Отсюда

$$t=\pm \arccos\frac12+2\pi n=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin(\pi+t)+\sin(2\pi-t)-\cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)+1{,}5=0$$

Преобразуем выражения:

$$\sin(\pi+t)=-\sin t,\qquad \sin(2\pi-t)=-\sin t,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+t\right)=\sin t.$$

Тогда

$$-\sin t-\sin t-\sin t+1{,}5=0,$$

$$-3\sin t=-1{,}5,$$

$$\sin t=\frac12.$$

Следовательно,

$$t=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\sin(\pi+t)=\sqrt2$$

Используем формулы:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t,\qquad \sin(\pi+t)=-\sin t.$$

Тогда

$$\sin t-(-\sin t)=\sqrt2,$$

$$2\sin t=\sqrt2,$$

$$\sin t=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$t=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin(\pi+t)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sqrt3$$

Преобразуем:

$$\sin(\pi+t)=-\sin t,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t.$$

Тогда

$$-\sin t+\sin t=\sqrt3,$$

$$0=\sqrt3.$$

Это невозможно, значит уравнение не имеет решений.

Ответ

а) $$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$t=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) решений нет.