Упр.18.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 x+\cos^2 2x+\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+2\cos x\cdot\tg x=1$$
2. б) $$2\cos^2 x-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\tg x\cdot\tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

а) Используем тождества $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)=\sin 2x$$ и $$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$ Тогда

$$\sin^2 x+\cos^2 2x+\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+2x\right)+2\cos x\cdot \tg x=1$$

$$\sin^2 x+\cos^2 2x+\sin^2 2x+2\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=1$$

$$\sin^2 x+1+2\sin x=1$$

$$\sin^2 x+2\sin x=0$$

$$\sin x(\sin x+2)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-2.$$

Значение $$\sin x=-2$$ невозможно, поэтому

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) Преобразуем уравнение, используя тождества $$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos x$$ и $$\tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg x.$$ Тогда

$$2\cos^2 x-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\tg x\cdot \tg\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

$$2\cos^2 x+\cos x-\tg x\cdot \ctg x=0$$

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

Сделаем замену $$t=\cos x$$. Получаем

$$2t^2+t-1=0.$$

$$D=1-4\cdot 2\cdot(-1)=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$

Следовательно,

$$t_1=\frac12,\qquad t_2=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

или

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$