Упр.18.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$|\cos x|=2\cos x-\sqrt{3}\sin x$$; б) $$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2|\sin x|$$.

а) Рассмотрим два случая.

1) Если $$\cos x>0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и уравнение принимает вид

$$\cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x.$$

Тогда

$$\cos x-\sqrt{3}\sin x=0,$$

$$\sqrt{3}\tan x=1,$$

$$\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\cos x>0$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и

$$-\cos x=2\cos x-\sqrt{3}\sin x.$$

Тогда

$$3\cos x-\sqrt{3}\sin x=0,$$

$$\sqrt{3}-\tan x=0,$$

$$\tan x=\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\cos x<0$$ получаем

$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Рассмотрим два случая.

1) Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и

$$\sin x=\sqrt{3}\cos x+2\sin x.$$

Тогда

$$-\sin x=\sqrt{3}\cos x,$$

$$\tan x=-\sqrt{3}.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\sin x>0$$ получаем

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и

$$\sin x=\sqrt{3}\cos x-2\sin x.$$

Тогда

$$3\sin x-\sqrt{3}\cos x=0,$$

$$\tan x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

С учётом условия $$\sin x<0$$ получаем

$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ \frac{7\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$