Упр.18.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$3\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}-2\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)-1=0$$;
б) $$3\operatorname{tg}^2 4x-2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-4x\right)=1$$;
в) $$\operatorname{tg}(\pi+x)+2\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+1=0$$;
г) $$2\operatorname{ctg}x-3\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+5=0$$.
a) Сделаем замену $$t=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда уравнение примет вид
$$3t^2+2t-1=0.$$
Найдём корни:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{6},$$
откуда $$t_1=\frac13,\quad t_2=-1.$$
Тогда
$$\tg \frac{x}{2}=\frac13 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=\arctg \frac13+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=2\arctg \frac13+2\pi n,$$
$$\tg \frac{x}{2}=-1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
Ответ: $$x=2\arctg \frac13+2\pi n,\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
б) Используем формулы $$\tg(\pi+x)=\tg x$$ и $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\ctg x.$$ Тогда
$$\tg x-2\ctg x+1=0.$$
Умножим на $$\tg x$$:
$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
Пусть $$t=\tg x.$$ Тогда
$$t^2+t-2=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2},$$
то есть $$t_1=1,\quad t_2=-2.$$
Следовательно,
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n.$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
в) Используем формулы $$\tg(\pi+x)=\tg x$$ и $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\ctg x.$$ Получаем
$$\tg x-2\ctg x+1=0.$$
Умножим на $$\tg x$$:
$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$
Пусть $$t=\tg x.$$ Тогда
$$t^2+t-2=0,$$
$$t_1=1,\quad t_2=-2.$$
Отсюда
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n.$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
г) Используем формулу $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\tg x.$$ Тогда
$$2\ctg x-3\tg x+5=0.$$
Умножим на $$\tg x$$:
$$2-3\tg^2 x+5\tg x=0,$$
или
$$3\tg^2 x-5\tg x-2=0.$$
Пусть $$t=\tg x.$$ Тогда
$$3t^2-5t-2=0,$$
$$D=25+24=49,$$
$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6},$$
откуда $$t_1=2,\quad t_2=-\frac13.$$
Следовательно,
$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n,$$
$$\tg x=-\frac13 \Rightarrow x=-\arctg \frac13+\pi n.$$
Ответ: $$x=\arctg 2+\pi n,\; x=-\arctg \frac13+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
