Упр.18.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2\operatorname{tg}^2 2x+3\operatorname{tg}(\pi+2x)=0$$; б) $$\operatorname{tg}^2 3x-6\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=0$$.

а) $$2\tg^2 2x+3\tg(\pi+2x)=0$$

Так как $$\tg(\pi+2x)=\tg 2x,$$ получаем

$$2\tg^2 2x+3\tg 2x=0$$

$$\tg 2x\,(2\tg 2x+3)=0$$

Отсюда:

$$\tg 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\tg 2x+3=0.$$

1) $$\tg 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$2\tg 2x+3=0 \Rightarrow \tg 2x=-\frac{3}{2},$$

$$2x=-\arctg \frac{3}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

$$x=-\frac12 \arctg \frac{3}{2}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=-\frac12 \arctg \frac{3}{2}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z.$$

б) $$\tg^2 3x-6\ctg\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=0$$

Так как $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}-3x\right)=\tg 3x,$$ имеем

$$\tg^2 3x-6\tg 3x=0$$

$$\tg 3x\,(\tg 3x-6)=0$$

Следовательно:

1) $$\tg 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{3}.$$

2) $$\tg 3x-6=0 \Rightarrow \tg 3x=6,$$

$$3x=\arctg 6+\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac13 \arctg 6+\frac{\pi n}{3}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{3},\; x=\frac13 \arctg 6+\frac{\pi n}{3},\; n\in \mathbb Z.$$