Упр.18.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$2\sin^2(\pi+x)-5\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+2=0$$; б) $$2\cos^2x+5\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-4=0$$; в) $$2\cos^2x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1=0$$; г) $$5-5\sin 3(\pi-x)=\cos^2(\pi-3x)$$.

а) $$2\sin^2(\pi+x)-5\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+2=0$$

Используем формулы приведения:

$$\sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x.$$

Тогда

$$2\sin^2 x+5\sin x+2=0.$$

Пусть $$t=\sin x$$. Получаем

$$2t^2+5t+2=0.$$

$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=9,$$

$$t_1=\frac{-5+3}{4}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{-5-3}{4}=-2.$$

Значение $$t_2=-2$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$

Остаётся

$$\sin x=-\frac12.$$

Следовательно,

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\cos^2 x+5\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-4=0$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,$$ то

$$2\cos^2 x+5\sin x-4=0.$$

Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$2-2\sin^2 x+5\sin x-4=0,$$

$$2\sin^2 x-5\sin x+2=0.$$

Пусть $$t=\sin x$$. Тогда

$$2t^2-5t+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

Значение $$t_2=2$$ не подходит. Значит,

$$\sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$2\cos^2 x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-1=0$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,$$ получаем

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

Пусть $$t=\cos x$$. Тогда

$$2t^2+t-1=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$

Следовательно,

$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1.$$

Тогда

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$5-5\sin 3(\pi-x)=\cos^2(\pi-3x)$$

Используем формулы приведения:

$$\sin 3(\pi-x)=\sin(3\pi-3x)=\sin 3x,$$

$$\cos(\pi-3x)=-\cos 3x,\qquad \cos^2(\pi-3x)=\cos^2 3x.$$

Тогда

$$5-5\sin 3x=\cos^2 3x=1-\sin^2 3x.$$

Получаем

$$\sin^2 3x-5\sin 3x+4=0.$$

Пусть $$t=\sin 3x$$. Тогда

$$t^2-5t+4=0,$$

$$D=25-16=9,$$

$$t_1=\frac{5+3}{2}=4,\qquad t_2=\frac{5-3}{2}=1.$$

Значение $$t_1=4$$ не подходит, поэтому

$$\sin 3x=1.$$

Следовательно,

$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$