Упр.18.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=2$$;
  б) $$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)\cdot\cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)+7\sin^2\frac{x}{2}=3$$;
  в) $$4\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\cdot\sin(\pi+x)+3\cos^2(\pi+x)=3$$;
  г) $$3\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)-2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cdot\cos(\pi+x)+2\sin^2(x-\pi)=2$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=2$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2},$$ получаем

$$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=2.$$

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2=0$$

$$3\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)=0$$

$$\sin^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-2\cos^2\frac{x}{2}=0$$

$$\tg^2\frac{x}{2}+\tg\frac{x}{2}-2=0.$$

Пусть $$t=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$t^2+t-2=0,$$

$$\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0,$$

откуда $$t=-2$$ или $$t=1.$$

1) $$\tg\frac{x}{2}=-2,$$ значит

$$\frac{x}{2}=-\arctg 2+\pi n,$$

$$x=-2\arctg 2+2\pi n.$$

2) $$\tg\frac{x}{2}=1,$$ значит

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)\cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)+7\sin^2\frac{x}{2}=3.$$

Используем формулы:

$$\sin\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=\sin\frac{x}{2}, \qquad \cos\left(2\pi-\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$2\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+7\sin^2\frac{x}{2}=3.$$

Перенесём $$3$$ влево и разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$4\sin^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=0$$

$$4\tg^2\frac{x}{2}-3\tg\frac{x}{2}-1=0.$$

Пусть $$t=\tg\frac{x}{2}.$$ Тогда

$$4t^2-3t-1=0,$$

$$D=9+16=25,$$

$$t_1=\frac{3+5}{8}=1,\qquad t_2=\frac{3-5}{8}=-\frac14.$$

Следовательно,

$$\tg\frac{x}{2}=1 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=-\frac14.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-2\arctg\frac14+2\pi n.$$

в) Преобразуем уравнение:

$$4\cos^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sqrt3\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)\sin(\pi+x)+3\cos^2(\pi+x)=3.$$

Используем формулы:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,$$

$$\sin(\pi+x)=-\sin x,\qquad \cos(\pi+x)=-\cos x.$$

Тогда

$$4\sin^2 x+\sqrt3\cos x\sin x+3\cos^2 x=3.$$

Перенесём $$3$$ влево:

$$4\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x+3\cos^2 x-3=0.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x=0,$$

$$\sin x\left(\sin x+\sqrt3\cos x\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\sqrt3\cos x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

2) $$\sin x+\sqrt3\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-\sqrt3,$$ значит

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

г) Преобразуем уравнение:

$$3\sin^2\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)-2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)\cos(\pi+x)+2\sin^2(x-\pi)=2.$$

Используем формулы:

$$\sin\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos x,\qquad \cos\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=\sin x,$$

$$\cos(\pi+x)=-\cos x,\qquad \sin(x-\pi)=-\sin x.$$

Тогда

$$3\cos^2 x+2\sin x\cos x+2\sin^2 x=2.$$

Перенесём $$2$$ влево:

$$3\cos^2 x+2\sin x\cos x+2\sin^2 x-2=0.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$\cos^2 x+2\sin x\cos x=0,$$

$$\cos x\left(\cos x+2\sin x\right)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x+2\sin x=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\cos x+2\sin x=0 \Rightarrow \tg x=-\frac12,$$ значит

$$x=-\arctg\frac12+\pi n.$$

Ответ

а) $$x=-2\arctg 2+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ -2\arctg\frac14+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=\pi n,\ -\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ -\arctg\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$