Упр.18.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-1$$;
   б) $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1$$;
   в) $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\sqrt{3}$$;
   г) $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\sqrt{2}$$.

а) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=-1$$

Так как $$\arccos(-1)=\pi,$$ то

$$\frac{\pi}{6}-2x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-2x=\pi-\frac{\pi}{6}+2\pi n=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=-1$$

Так как $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},$$ то

$$\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$-\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\pi-2\pi n=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\sqrt{3}$$

Получаем

$$\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{3}-\frac{x}{4}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из первого уравнения:

$$-\frac{x}{4}=2\pi n,\qquad x=8\pi n.$$

Из второго уравнения:

$$-\frac{x}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=-\frac{4\pi}{3}+8\pi n.$$

г) $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\sqrt{2}$$

Получаем

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-3x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}-3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

1) $$\frac{\pi}{4}-3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$-3x=2\pi n,\qquad x=\frac{2\pi n}{3}.$$

2) $$\frac{\pi}{4}-3x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$-3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: а) $$x=-\frac{5\pi}{12}+\pi n$$; б) $$x=\pi+2\pi n$$; в) $$x=8\pi n,\; x=-\frac{4\pi}{3}+8\pi n$$; г) $$x=\frac{2\pi n}{3},\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$