Упр.18.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2\cos^2 x=0$$;

б) $$\sin^2 3x+3\cos^2 3x-4\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0$$;

в) $$\sin^2 x+2\sin(\pi-x)\cdot\cos x-3\cos^2(2\pi-x)=0$$;

г) $$\sin^2(\pi-3x)+5\sin(\pi-3x)\cdot\cos 3x+4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=0$$.

а) $$\sin^2 x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-2\cos^2 x=0$$

Используем формулы приведения:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x.$$

Тогда

$$\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0.$$

При $$\cos x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+\tg x-2=0.$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$t^2+t-2=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0.$$

Отсюда $$t=1$$ или $$t=-2$$, то есть

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-2.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin^2 3x+3\cos^2 3x-4\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)\cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=0$$

Так как

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=\cos 3x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}+3x\right)=-\sin 3x,$$

то получаем

$$\sin^2 3x+4\sin 3x\cos 3x+3\cos^2 3x=0.$$

При $$\cos 3x\neq 0$$ делим на $$\cos^2 3x$$:

$$\tg^2 3x+4\tg 3x+3=0.$$

Пусть $$t=\tg 3x$$. Тогда

$$t^2+4t+3=0,$$

$$\left(t+1\right)\left(t+3\right)=0.$$

Отсюда $$t=-1$$ или $$t=-3$$, значит

$$\tg 3x=-1 \quad \text{или} \quad \tg 3x=-3.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin^2 x+2\sin(\pi-x)\cos x-3\cos^2(2\pi-x)=0$$

Используем формулы приведения:

$$\sin(\pi-x)=\sin x,\qquad \cos(2\pi-x)=\cos x.$$

Тогда

$$\sin^2 x+2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0.$$

При $$\cos x\neq 0$$ делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x+2\tg x-3=0.$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$t^2+2t-3=0,$$

$$\left(t-1\right)\left(t+3\right)=0.$$

Отсюда $$t=1$$ или $$t=-3$$, значит

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin^2(\pi-3x)+5\sin(\pi-3x)\cos 3x+4\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=0$$

Так как

$$\sin(\pi-3x)=\sin 3x,\qquad \sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right)=-\cos 3x,$$

то

$$\sin^2 3x+5\sin 3x\cos 3x+4\cos^2 3x=0.$$

При $$\cos 3x\neq 0$$ делим на $$\cos^2 3x$$:

$$\tg^2 3x+5\tg 3x+4=0.$$

Пусть $$t=\tg 3x$$. Тогда

$$t^2+5t+4=0,$$

$$\left(t+1\right)\left(t+4\right)=0.$$

Отсюда $$t=-1$$ или $$t=-4$$, значит

$$\tg 3x=-1 \quad \text{или} \quad \tg 3x=-4.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{1}{3}\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\ -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$x=-\frac{1}{3}\arctg 4+\frac{\pi n}{3},\ -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$