Упр.18.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 x-5\cos x=\sin x\cdot\cos x-5\sin x$$
2. б) $$\cos^2 x-7\sin x+\sin x\cdot\cos x=7\cos x$$

а) Преобразуем уравнение:

$$\sin^2 x — 5\cos x = \sin x \cos x — 5\sin x$$

$$\sin^2 x — \sin x \cos x + 5\sin x — 5\cos x = 0$$

$$\sin x(\sin x — \cos x) + 5(\sin x — \cos x) = 0$$

$$(\sin x + 5)(\sin x — \cos x) = 0$$

Отсюда:

$$\sin x + 5 = 0 \quad \text{или} \quad \sin x — \cos x = 0.$$

Уравнение $$\sin x + 5 = 0$$ не имеет решений, так как $$\sin x = -5$$ невозможно.

Решаем второе уравнение:

$$\sin x — \cos x = 0$$

$$\tg x — 1 = 0$$

$$\tg x = 1$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$\cos^2 x — 7\sin x + \sin x \cos x = 7\cos x$$

$$\cos^2 x + \sin x \cos x — 7\cos x — 7\sin x = 0$$

$$\cos x(\cos x + \sin x) — 7(\cos x + \sin x) = 0$$

$$(\cos x — 7)(\cos x + \sin x) = 0$$

Отсюда:

$$\cos x — 7 = 0 \quad \text{или} \quad \cos x + \sin x = 0.$$

Уравнение $$\cos x — 7 = 0$$ не имеет решений, так как $$\cos x = 7$$ невозможно.

Решаем второе уравнение:

$$\cos x + \sin x = 0$$

$$1 + \tg x = 0$$

$$\tg x = -1$$

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$; б) $$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$$.