Упр.18.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{13\pi}{6}-2x\right)=0$$; б) $$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\cos\left(\frac{47\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$$.

а) $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{13\pi}{6}-2x\right)=0$$

Так как $$\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6},$$ то

$$\cos\left(\frac{13\pi}{6}-2x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right).$$

Тогда

$$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0.$$

Поскольку $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right),$$ получаем

$$-\sin\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}-2x\right)=0.$$

Обозначим $$t=\frac{\pi}{6}-2x.$$ Тогда

$$\cos t-\sin t=0,$$

$$\tg t=1.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{6}-2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$2x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{4}-\pi n=-\frac{\pi}{12}-\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\cos\left(\frac{47\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$$

Так как $$\frac{47\pi}{3}=16\pi-\frac{\pi}{3},$$ то

$$\cos\left(\frac{47\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=\cos\left(16\pi-\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right).$$

Если $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=0,$$ то правая часть равна нулю, а левая — $$\pm1,$$ что невозможно. Значит, можно разделить на $$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right).$$ Получаем

$$\tg\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$\frac{x}{2}=\pi n,$$

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$