Упр.18.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$|\sin x|=|\cos x|$$;
   б) $$\sqrt{3}\operatorname{ctg}x=2|\cos x|$$;
   в) $$|\sin 2x|=|\sqrt{3}\cos 2x|$$;
   г) $$\sqrt{2}\operatorname{tg}x+2|\sin x|=0$$.

а) $$|\sin x|=|\cos x|$$

Разделим обе части на $$|\cos x|$$:

$$\left|\tg x\right|=1$$

Тогда

$$\tg x=\pm 1$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{3}\ctg x=2|\cos x|$$

Так как $$\ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$$, получаем

$$\sqrt{3}\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=2|\cos x|.$$

Умножим на $$\sin x$$:

$$\sqrt{3}\cos x=2\sin x\cdot |\cos x|.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$\cos x=0$$, то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Если $$\cos x>0$$, то $$|\cos x|=\cos x$$ и

$$\sqrt{3}\cos x=2\sin x\cos x.$$

Так как $$\cos x\ne 0$$, делим на $$\cos x$$:

$$\sqrt{3}=2\sin x,$$

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

С учётом условия $$\cos x>0$$ подходит только

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

3) Если $$\cos x<0$$, то $$|\cos x|=-\cos x$$ и

$$\sqrt{3}\cos x=-2\sin x\cos x.$$

Так как $$\cos x\ne 0$$, делим на $$\cos x$$:

$$\sqrt{3}=-2\sin x,$$

$$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n.$$

С учётом условия $$\cos x<0$$ подходит только

$$x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

в) $$|\sin 2x|=|\sqrt{3}\cos 2x|$$

Разделим на $$|\cos 2x|$$:

$$\left|\tg 2x\right|=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\tg 2x=\pm \sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

г) $$\sqrt{2}\tg x+2|\sin x|=0$$

Так как $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$, имеем

$$\sqrt{2}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}+2|\sin x|=0.$$

Умножим на $$\cos x$$:

$$\sqrt{2}\sin x+2\cos x\cdot |\sin x|=0.$$

Рассмотрим случаи.

1) Если $$\sin x=0$$, то

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) Если $$\sin x>0$$, то $$|\sin x|=\sin x$$ и

$$\sqrt{2}\sin x+2\cos x\sin x=0,$$

$$\sin x\left(\sqrt{2}+2\cos x\right)=0.$$

Так как $$\sin x\ne 0$$, получаем

$$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$

С учётом условия $$\sin x>0$$ подходит только

$$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

3) Если $$\sin x<0$$, то $$|\sin x|=-\sin x$$ и

$$\sqrt{2}\sin x-2\cos x\sin x=0,$$

$$\sin x\left(\sqrt{2}-2\cos x\right)=0.$$

Так как $$\sin x\ne 0$$, получаем

$$\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n.$$

С учётом условия $$\sin x<0$$ подходит только

$$x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n.$$

Итак,

$$x=\pi n,\quad x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

в) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z.$$

г) $$x=\pi n,\ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ x=\frac{7\pi}{4}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$