Упр.18.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область значений функции:
   а) $$y=\cos 3x+\sqrt{\cos^2 3x-1}$$;
   б) $$y=\sin 2x+\sqrt{\sin^2 4x-1}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\cos 3x+\sqrt{\cos^2 3x-1}.$$

Для существования корня нужно, чтобы

$$\cos^2 3x-1\ge 0.$$

Так как $$\cos^2 3x\le 1,$$ то возможно только

$$\cos^2 3x=1,$$

то есть

$$\cos 3x=\pm 1.$$

Тогда корень равен нулю, и

$$y=\cos 3x.$$

Следовательно, возможны только значения

$$y=1 \quad \text{и} \quad y=-1.$$

Значит,

$$E(y)=\{-1;1\}.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\sin 2x+\sqrt{\sin^2 4x-1}.$$

Для существования корня нужно, чтобы

$$\sin^2 4x-1\ge 0.$$

Так как $$\sin^2 4x\le 1,$$ то возможно только

$$\sin^2 4x=1,$$

то есть

$$\sin 4x=\pm 1.$$

Тогда корень равен нулю, и остаётся

$$y=\sin 2x.$$

Из условия $$\sin 4x=\pm 1$$ получаем

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}.$$

Тогда

$$y=\sin 2x=\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right).$$

При чётных и нечётных значениях $$k$$ получаем

$$y=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Значит,

$$E(y)=\left\{-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right\}.$$

Ответ: а) $$\{-1;1\}$$; б) $$\left\{-\frac{\sqrt2}{2};\frac{\sqrt2}{2}\right\}$$.