Упр.18.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$(\sqrt{2}\cos x-1)\sqrt{4x^2-7x+3}=0$$;
б) $$(2\sin x-\sqrt{3})\sqrt{3x^2-7x+4}=0$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)\sqrt{4x^2-7x+3}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$4x^2-7x+3\ge 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{8},\quad x_1=\frac34,\; x_2=1.$$

Тогда

$$4x^2-7x+3\ge 0 \iff x\le \frac34 \;\text{или}\; x\ge 1.$$

Теперь решим первое уравнение:

$$\sqrt{2}\cos x-1=0,$$

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Из найденных значений подходят только те, для которых $$x\le \frac34$$ или $$x\ge 1.$$

Значит, подходит только

$$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)\sqrt{3x^2-7x+4}=0.$$

Требуется

$$3x^2-7x+4\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=7^2-4\cdot 3\cdot 4=1,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{6},\quad x_1=1,\; x_2=\frac43.$$

Следовательно,

$$3x^2-7x+4\ge 0 \iff x\le 1 \;\text{или}\; x\ge \frac43.$$

Решим первое уравнение:

$$2\sin x-\sqrt{3}=0,$$

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

С учётом области определения получаем:

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z};$$

$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\; x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$