Упр.18.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sqrt{16-x^2}\cdot\sin x=0$$; б) $$\sqrt{7x-x^2}\cdot(2\cos x-1)=0$$.

а) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{16-x^2}\cdot \sin x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом должно выполняться условие существования корня:

$$16-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; -4\le x\le 4.$$

1) $$\sqrt{16-x^2}=0 \;\Rightarrow\; 16-x^2=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 4.$$

2) $$\sin x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi k,\; k\in \mathbb Z.$$

На отрезке $$[-4;4]$$ получаем значения:

$$x=-\pi,\;0,\;\pi.$$

Итак, решения уравнения:

$$x=-4,\,-\pi,\,0,\,\pi,\,4.$$

б) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{7x-x^2}\cdot (2\cos x-1)=0.$$

Область определения:

$$7x-x^2\ge 0 \;\Rightarrow\; x(7-x)\ge 0 \;\Rightarrow\; 0\le x\le 7.$$

1) $$\sqrt{7x-x^2}=0 \;\Rightarrow\; 7x-x^2=0 \;\Rightarrow\; x(7-x)=0,$$

откуда $$x=0$$ или $$x=7.$$

2) $$2\cos x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos x=\frac12.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi k,\; k\in \mathbb Z.$$

На отрезке $$[0;7]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3}.$$

Следовательно, решения уравнения:

$$x=0,\;\frac{\pi}{3},\;\frac{5\pi}{3},\;7.$$