Упр.18.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-3\cos\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=0$$; б) $$\sqrt{3}\sin\left(\pi-\frac{x}{3}\right)+3\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{3}\right)=0$$.

а) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)-3\cos\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=0$$

Используем формулы приведения:

$$\sin\frac{x}{2}+3\cos\frac{x}{2}=0$$

Разделим обе части на $$\cos\frac{x}{2}$$:

$$\tg\frac{x}{2}+3=0$$

$$\tg\frac{x}{2}=-3$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=-2\arctg 3+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=-2\arctg 3+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

б) $$\sqrt{3}\sin\left(\pi-\frac{x}{3}\right)+3\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{3}\right)=0$$

Используем формулы приведения:

$$\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}+3\cos\frac{x}{3}=0$$

Разделим обе части на $$\cos\frac{x}{3}$$:

$$\sqrt{3}\tg\frac{x}{3}+3=0$$

$$\tg\frac{x}{3}=-\sqrt{3}$$

Тогда

$$\frac{x}{3}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=-\pi+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=-\pi+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$