Упр.18.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0$$;
б) $$2\sin(\pi-3x)+\cos(2\pi-3x)=0$$.

а) Используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)=\cos 2x,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=\sin 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\cos 2x+\sin 2x=0.$$

Разделим обе части на $$\cos 2x$$:

$$1+\tg 2x=0,$$

откуда

$$\tg 2x=-1.$$

Следовательно,

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Аналогично, по формулам приведения:

$$\sin(\pi-3x)=\sin 3x,\qquad \cos(2\pi-3x)=\cos 3x.$$

Получаем

$$2\sin 3x+\cos 3x=0.$$

Разделим обе части на $$\cos 3x$$:

$$2\tg 3x+1=0,$$

откуда

$$\tg 3x=-\frac12.$$

Тогда

$$3x=-\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и

$$x=-\frac13\arctg\frac12+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=-\frac13\arctg\frac12+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$