Упр.18.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$4\sin^2\frac{x}{2}-3=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$; б) $$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}=3+\sqrt{3}\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$$

а) Преобразуем уравнение:

$$4\sin^2\frac{x}{2}-3=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$

$$4\sin^2\frac{x}{2}-3\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\sin^2\frac{x}{2}-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-3\cos^2\frac{x}{2}=0$$

Разделим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

$$\tg^2\frac{x}{2}-2\tg\frac{x}{2}-3=0$$

Пусть $$t=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда

$$t^2-2t-3=0$$

$$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0$$

Отсюда $$t=3$$ или $$t=-1$$.

1) $$\tg\frac{x}{2}=3$$, значит

$$\frac{x}{2}=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=2\arctg 3+2\pi n$$

2) $$\tg\frac{x}{2}=-1$$, значит

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

б) Преобразуем уравнение:

$$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}=3+\sqrt3\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}$$

$$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}-3-\sqrt3\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$

$$3\sin^2\frac{x}{3}+4\cos^2\frac{x}{3}-3\left(\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}\right)-\sqrt3\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$

$$\cos^2\frac{x}{3}-\sqrt3\sin\frac{x}{3}\cos\frac{x}{3}=0$$

$$\cos\frac{x}{3}\left(\cos\frac{x}{3}-\sqrt3\sin\frac{x}{3}\right)=0$$

Отсюда:

1) $$\cos\frac{x}{3}=0$$, тогда

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n$$

2) $$\cos\frac{x}{3}-\sqrt3\sin\frac{x}{3}=0$$, тогда

$$\tg\frac{x}{3}=\frac{1}{\sqrt3}$$

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{2}+3\pi n$$

Ответ: а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg 3+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+3\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.