Упр.18.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$; б) $$\sqrt{3}\tan\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=3$$; в) $$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$$; г) $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$$.

а) $$2\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$

$$\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

1) $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad x=\frac{2\pi}{3}+4\pi k$$

2) $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

$$\frac{x}{2}=2\pi k,\qquad x=4\pi k$$

Ответ: $$x=\frac{2\pi}{3}+4\pi k,\; x=4\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{3}\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=3$$

$$\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$$

$$\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{6}+\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{2}+3\pi k$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+3\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

в) $$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}$$

$$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad 3x-\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

1) $$3x=2\pi k,\qquad x=\frac{2\pi k}{3}$$

2) $$3x=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3}$$

Ответ: $$x=\frac{2\pi k}{3},\; x=\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi k}{3},\; k\in\mathbb Z.$$

г) $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+1=0$$

$$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=-1$$

$$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi k$$

Ответ: $$x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$