Упр.18.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$3\sin^2 2x — 2 = \sin 2x \cdot \cos 2x$$
б) $$2\sin^2 4x — 4 = 3\sin 4x \cdot \cos 4x — 4\cos^2 4x$$

а) $$3\sin^2 2x-2=\sin 2x\cdot \cos 2x$$

Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся тождеством $$\sin^2 2x+\cos^2 2x=1$$:

$$3\sin^2 2x-2(\sin^2 2x+\cos^2 2x)-\sin 2x\cos 2x=0$$

$$\sin^2 2x-\sin 2x\cos 2x-2\cos^2 2x=0$$

Разделим на $$\cos^2 2x$$:

$$\tg^2 2x-\tg 2x-2=0$$

Пусть $$t=\tg 2x$$. Тогда

$$t^2-t-2=0$$

$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0$$

Отсюда $$t=2$$ или $$t=-1$$.

1) $$\tg 2x=2$$, значит

$$2x=\arctg 2+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

$$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2}$$

2) $$\tg 2x=-1$$, значит

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}$$

Ответ: $$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi k}{2},\; -\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\; k\in \mathbb Z.$$

б) $$2\sin^2 4x-4=3\sin 4x\cdot \cos 4x-4\cos^2 4x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2\sin^2 4x-4-3\sin 4x\cos 4x+4\cos^2 4x=0$$

Используем $$\sin^2 4x+\cos^2 4x=1$$:

$$2\sin^2 4x-4(\sin^2 4x+\cos^2 4x)-3\sin 4x\cos 4x+4\cos^2 4x=0$$

$$-2\sin^2 4x-3\sin 4x\cos 4x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$-\sin 4x\left(2\sin 4x+3\cos 4x\right)=0$$

Отсюда

$$\sin 4x=0$$

или

$$2\sin 4x+3\cos 4x=0$$

1) $$\sin 4x=0$$, значит

$$4x=\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi k}{4}$$

2) $$2\sin 4x+3\cos 4x=0$$, тогда

$$\tg 4x=-\frac{3}{2}$$

$$4x=-\arctg \frac{3}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

$$x=-\frac14\arctg \frac{3}{2}+\frac{\pi k}{4}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi k}{4},\; -\frac14\arctg \frac{3}{2}+\frac{\pi k}{4},\; k\in \mathbb Z.$$