Упр.18.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$5\sin^2 x+\sqrt{3}\sin x\cos x+6\cos^2 x=5$$
• б) $$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=4$$

а) $$5\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x+6\cos^2 x=5$$

Перенесём $$5$$ в левую часть и воспользуемся тождеством $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$5\sin^2 x+\sqrt3\sin x\cos x+6\cos^2 x-5(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$\cos^2 x+\sqrt3\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(\cos x+\sqrt3\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0$$

или

$$\cos x+\sqrt3\sin x=0$$

Во втором случае делим на $$\cos x$$:

$$1+\sqrt3\tg x=0$$

$$\tg x=-\frac1{\sqrt3}$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

А из $$\cos x=0$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x=4$$

Перенесём $$4$$ в левую часть:

$$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x-4=0$$

$$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+4\cos^2 x-4(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$-2\sin^2 x-3\sin x\cos x=0$$

$$-\sin x(2\sin x+3\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0$$

или

$$2\sin x+3\cos x=0$$

Во втором случае делим на $$\cos x$$:

$$2\tg x+3=0$$

$$\tg x=-\frac32$$

Тогда

$$x=-\arctg\frac32+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

А из $$\sin x=0$$ получаем:

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\pi n,\ -\arctg\frac32+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$