Упр.18.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$5\sin^2 x — 14\sin x \cdot \cos x — 3\cos^2 x = 2$$;
   б) $$3\sin^2 x — \sin x \cdot \cos x = 2$$;
   в) $$2\cos^2 x — \sin x \cdot \cos x + 5\sin^2 x = 3$$;
   г) $$4\sin^2 x — 2\sin x \cdot \cos x = 3$$.

а) $$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x=2$$

$$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x-2=0$$

$$5\sin^2 x-14\sin x\cos x-3\cos^2 x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$3\sin^2 x-14\sin x\cos x-5\cos^2 x=0$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$3\tg^2 x-14\tg x-5=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$3t^2-14t-5=0$$

$$D=(-14)^2-4\cdot 3\cdot(-5)=256$$

$$t_{1,2}=\frac{14\pm 16}{6}$$

$$t_1=5,\qquad t_2=-\frac13$$

Следовательно,

$$\tg x=5 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac13$$

$$x=\arctg 5+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg \frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\arctg 5+\pi n,\; -\arctg \frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\sin^2 x-\sin x\cos x=2$$

$$3\sin^2 x-\sin x\cos x-2=0$$

$$3\sin^2 x-\sin x\cos x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$\sin^2 x-\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-\tg x-2=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$t^2-t-2=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}$$

$$t_1=2,\qquad t_2=-1$$

Значит,

$$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

$$x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\arctg 2+\pi n,\; -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x=3$$

$$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x-3=0$$

$$2\cos^2 x-\sin x\cos x+5\sin^2 x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$2\sin^2 x-\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$2\tg^2 x-\tg x-1=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$2t^2-t-1=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

$$t_1=1,\qquad t_2=-\frac12$$

Следовательно,

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac12$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg \frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; -\arctg \frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$4\sin^2 x-2\sin x\cos x=3$$

$$4\sin^2 x-2\sin x\cos x-3=0$$

$$4\sin^2 x-2\sin x\cos x-3(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$

$$\sin^2 x-2\sin x\cos x-3\cos^2 x=0$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$

Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

$$t^2-2t-3=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16$$

$$t_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

$$t_1=3,\qquad t_2=-1$$

Значит,

$$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

$$x=\arctg 3+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\arctg 3+\pi n,\; -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$