Упр.18.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$2\sin^2 2x-5\sin 2x\cdot\cos 2x+2\cos^2 2x=0$$; б) $$3\sin^2 3x+10\sin 3x\cdot\cos 3x+3\cos^2 3x=0$$.

а) $$2\sin^2 2x-5\sin 2x\cos 2x+2\cos^2 2x=0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 2x$$:

$$2\tg^2 2x-5\tg 2x+2=0.$$

Пусть $$t=\tg 2x$$. Тогда

$$2t^2-5t+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$t_1=2,\qquad t_2=\frac12.$$

Тогда

$$\tg 2x=2 \quad \text{или} \quad \tg 2x=\frac12.$$

Отсюда

$$2x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\arctg \frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac12\arctg \frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$3\sin^2 3x+10\sin 3x\cos 3x+3\cos^2 3x=0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 3x$$:

$$3\tg^2 3x+10\tg 3x+3=0.$$

Пусть $$t=\tg 3x$$. Тогда

$$3t^2+10t+3=0.$$

$$D=100-36=64,$$

$$t_{1,2}=\frac{-10\pm 8}{6}.$$

Получаем:

$$t_1=-\frac13,\qquad t_2=-3.$$

Тогда

$$\tg 3x=-\frac13 \quad \text{или} \quad \tg 3x=-3.$$

Отсюда

$$3x=\arctg\!\left(-\frac13\right)+\pi n \quad \text{или} \quad 3x=\arctg(-3)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$x=-\frac13\arctg \frac13+\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=-\frac13\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; x=\frac12\arctg \frac12+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac13\arctg \frac13+\frac{\pi n}{3},\; x=-\frac13\arctg 3+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$