Упр.18.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\sin 2x=\cos 2x$$;
б) $$\sqrt{3}\sin 3x=\cos 3x$$;
в) $$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}$$;
г) $$\sqrt{2}\sin 17x=\sqrt{6}\cos 17x$$.
а) $$\sin 2x=\cos 2x$$
Разделим обе части уравнения на $$\cos 2x$$:
$$\tg 2x=1$$
Тогда
$$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$
б) $$\sqrt{3}\sin 3x=\cos 3x$$
Разделим обе части уравнения на $$\cos 3x$$:
$$\sqrt{3}\tg 3x=1$$
$$\tg 3x=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
Следовательно,
$$3x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}$$
в) $$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{3}\cos \frac{x}{2}$$
Разделим обе части уравнения на $$\cos \frac{x}{2}$$:
$$\tg \frac{x}{2}=\sqrt{3}$$
Тогда
$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
г) $$\sqrt{2}\sin 17x=\sqrt{6}\cos 17x$$
Разделим обе части уравнения на $$\cos 17x$$:
$$\sqrt{2}\tg 17x=\sqrt{6}$$
$$\tg 17x=\sqrt{3}$$
Следовательно,
$$17x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$
$$x=\frac{\pi}{51}+\frac{\pi n}{17},\quad n\in\mathbb{Z}$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$; б) $$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}$$; в) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; г) $$x=\frac{\pi}{51}+\frac{\pi n}{17},\ n\in\mathbb{Z}$$.
