Упр.18.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2 x-\frac{12-\sqrt{2}}{2}\sin x-3\sqrt{2}=0$$; б) $$\cos^2 x-\frac{8-\sqrt{3}}{2}\cos x-2\sqrt{3}=0$$.

Положим $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$y^2-\frac{12-\sqrt2}{2}y-3\sqrt2=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=\left(\frac{12-\sqrt2}{2}\right)^2+4\cdot 3\sqrt2=\frac{144-24\sqrt2+2}{4}+12\sqrt2=\frac{144+24\sqrt2+2}{4}=\left(\frac{12+\sqrt2}{2}\right)^2.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{\frac{12-\sqrt2}{2}\pm \frac{12+\sqrt2}{2}}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac{\sqrt2}{2}, \qquad y_2=6.$$

Значение $$y=6$$ не подходит, так как $$\sin x\in[-1;1].$$ Поэтому

$$\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Теперь решим уравнение

$$\cos^2 x-\frac{8-\sqrt3}{2}\cos x-2\sqrt3=0.$$

Положим $$y=\cos x.$$ Тогда

$$y^2-\frac{8-\sqrt3}{2}y-2\sqrt3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=\left(\frac{8-\sqrt3}{2}\right)^2+4\cdot 2\sqrt3=\frac{64-16\sqrt3+3}{4}+8\sqrt3=\frac{64+16\sqrt3+3}{4}=\left(\frac{8+\sqrt3}{2}\right)^2.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{\frac{8-\sqrt3}{2}\pm \frac{8+\sqrt3}{2}}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac{\sqrt3}{2}, \qquad y_2=4.$$

Значение $$y=4$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$ Поэтому

$$\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$