Упр.18.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=0$$;
• б) $$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-3=0$$;
• в) $$\sqrt{3}\tg^2 3x-3\tg 3x=0$$;
• г) $$4\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$$.

а)

$$2\cos^2\frac{x}{2}+\sqrt{3}\cos\frac{x}{2}=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 2\cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$$

1) $$\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n$$

2) $$2\cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$$

$$\cos\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\frac{x}{2}=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi n$$

Ответ: $$x=\pi+2\pi n,\ \ x=\pm\frac{5\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

б)

$$4\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-3=0$$

$$\cos^2\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{4}$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$$

1) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n$$

Ответ: $$x=\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

в)

$$\sqrt{3}\tg^2 3x-3\tg 3x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\tg 3x\left(\sqrt{3}\tg 3x-3\right)=0$$

Отсюда:

$$\tg 3x=0 \quad \text{или} \quad \tg 3x=\sqrt{3}$$

1) $$\tg 3x=0$$

$$3x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{3}$$

2) $$\tg 3x=\sqrt{3}$$

$$3x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{3},\ \ x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$

г)

$$4\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)-1=0$$

$$\sin^2\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{4}$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\pm\frac{1}{2}$$

1) $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$

$$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

$$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

2) $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$$

Эти решения уже входят в полученные выше общие формулы.

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$