Упр.18.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\operatorname{tg} x-2\operatorname{ctg} x+1=0$$;
б) $$\frac{\operatorname{tg} x+5}{2}=\frac{1}{\cos^2 x}$$;
в) $$2\operatorname{ctg} x-3\operatorname{tg} x+5=0$$;
г) $$\frac{7-\operatorname{ctg} x}{4}=\frac{1}{\sin^2 x}$$.
а) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда
$$\tg x-2\ctg x+1=0$$
$$y-\frac{2}{y}+1=0,\qquad y\ne 0$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+y-2=0$$
$$D=1^2-4\cdot 1\cdot(-2)=9$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}$$
$$y_1=1,\qquad y_2=-2$$
Тогда
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n$$
Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; -\arctg 2+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) Используем формулу $$\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x.$$ Тогда
$$\frac{\tg x+5}{2}=1+\tg^2 x$$
$$\tg x+5=2+2\tg^2 x$$
Пусть $$y=\tg x.$$ Получаем
$$2y^2-y-3=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}$$
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac{3}{2}$$
Следовательно,
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$
$$\tg x=\frac{3}{2} \Rightarrow x=\arctg\frac{3}{2}+\pi n$$
Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; \arctg\frac{3}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
в) Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда
$$2\ctg x-3\tg x+5=0$$
$$\frac{2}{y}-3y+5=0,\qquad y\ne 0$$
Умножим на $$y$$:
$$2-3y^2+5y=0$$
$$3y^2-5y-2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}$$
$$y_1=2,\qquad y_2=-\frac{1}{3}$$
Тогда
$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n$$
$$\tg x=-\frac{1}{3} \Rightarrow x=-\arctg\frac{1}{3}+\pi n$$
Ответ: $$x=\arctg 2+\pi n,\; -\arctg\frac{1}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
г) Используем формулу $$\dfrac{1}{\sin^2 x}=1+\ctg^2 x.$$ Тогда
$$\frac{7-\ctg x}{4}=1+\ctg^2 x$$
$$7-\ctg x=4+4\ctg^2 x$$
$$4\ctg^2 x+\ctg x-3=0$$
Пусть $$y=\ctg x.$$ Получаем
$$4y^2+y-3=0$$
$$D=1^2-4\cdot 4\cdot(-3)=49$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{8}$$
$$y_1=\frac{3}{4},\qquad y_2=-1$$
Следовательно,
$$\ctg x=\frac{3}{4} \Rightarrow x=\arctg\frac{4}{3}+\pi n$$
$$\ctg x=-1 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{4}+\pi n$$
Ответ: $$x=\arctg\frac{4}{3}+\pi n,\; \frac{3\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
