Упр.18.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1$$ и найдите: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$; в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)$$.

Решим уравнение $$\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1.$$

Значение синуса равно $$-1$$ при

$$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$2x=\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+2\pi k=\frac{7\pi}{4}+2\pi k,$$

$$x=\frac{7\pi}{8}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

а)

Наименьший положительный корень получаем при $$k=0$$:

$$x=\frac{7\pi}{8}.$$

б)

Найдём корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$

Подставим значения $$k$$:

при $$k=-1$$ имеем $$x=\frac{7\pi}{8}-\pi=-\frac{\pi}{8},$$

при $$k=0$$ имеем $$x=\frac{7\pi}{8}.$$

Оба корня лежат на данном отрезке, других нет.

в)

Наибольший отрицательный корень получаем при $$k=-1$$:

$$x=\frac{7\pi}{8}-\pi=-\frac{\pi}{8}.$$

г)

Найдём корни, принадлежащие интервалу $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right).$$

Проверяем значения $$k$$:

при $$k=-1$$ получаем $$x=-\frac{\pi}{8},$$ и этот корень принадлежит интервалу;

при $$k=0$$ получаем $$x=\frac{7\pi}{8},$$ но он не принадлежит интервалу.

Значит, подходит только один корень:

$$x=-\frac{\pi}{8}.$$

Ответ: а) $$\frac{7\pi}{8}$$; б) $$-\frac{\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8}$$; в) $$-\frac{\pi}{8}$$; г) $$-\frac{\pi}{8}$$.