Упр.18.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\frac{1}{2}$$ и найдите: а) наименьший положительный корень; б) корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$; в) наибольший отрицательный корень; г) корни, принадлежащие интервалу $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)$$.

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-2x\right)=\frac12$$

Пусть $$t=\frac{\pi}{3}-2x.$$ Тогда

$$\cos t=\frac12,$$

откуда

$$t=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\frac{\pi}{3}-2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

1) Если $$\frac{\pi}{3}-2x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$ то

$$-2x=2\pi n,\qquad x=\pi n.$$

2) Если $$\frac{\pi}{3}-2x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$ то

$$-2x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

Итак, общее решение:

$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) Наименьший положительный корень: $$\frac{\pi}{3}.$$

б) Корни на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$:

$$0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}.$$

в) Наибольший отрицательный корень: $$-\frac{2\pi}{3}.$$

г) Корни на интервале $$\left(-\pi;\frac{\pi}{2}\right)$$:

$$-\frac{2\pi}{3},\ 0,\ \frac{\pi}{3}.$$