Упр.18.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin x/2=0$$, $$[-12;18]$$; б) $$\cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$[1;7]$$.

а) $$\sin \frac{x}{2}=0$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=\pi k,\quad k\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=2\pi k.$$

Найдём значения, принадлежащие промежутку $$[-12;18]$$:

$$-12\le 2\pi k\le 18,$$

$$-\frac{6}{\pi}\le k\le \frac{9}{\pi}.$$

Подходят целые значения $$k=-1,0,1,2$$. Тогда

$$x=-2\pi,\ 0,\ 2\pi,\ 4\pi.$$

б) $$\cos 3x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

Тогда

$$3x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi k}{3}.$$

Найдём корни, принадлежащие промежутку $$[1;7]$$:

$$1\le \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi k}{3}\le 7,$$

$$1\le -\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi k}{3}\le 7.$$

Из этих неравенств получаем подходящие значения, при которых

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3},\ \frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{3},\ -\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3},\ -\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{3},\ -\frac{\pi}{4}+2\pi.$$

Вычислим:

$$\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}=\frac{11\pi}{12},\qquad \frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{3}=\frac{19\pi}{12},$$

$$-\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{12},\qquad -\frac{\pi}{4}+\frac{4\pi}{3}=\frac{13\pi}{12},\qquad -\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7\pi}{4}.$$

Ответ: а) $$-2\pi,\ 0,\ 2\pi,\ 4\pi$$; б) $$\frac{5\pi}{12},\ \frac{11\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12},\ \frac{19\pi}{12},\ \frac{7\pi}{4}.$$