Упр.18.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
   а) $$\sin 3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$[0;2\pi]$$;
   б) $$\cos 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$[-\pi;\pi]$$;
   в) $$\operatorname{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$, $$[-3\pi;3\pi]$$;
   г) $$\operatorname{ctg}4x=-1$$, $$[0;\pi]$$.

а) $$\sin 3x=\frac{\sqrt2}{2}, \quad x\in[0;2\pi].$$

Тогда

$$3x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$

Подбираем значения, принадлежащие отрезку $$[0;2\pi]$$:

$$x=\frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{11\pi}{12},\ \frac{17\pi}{12},\ \frac{19\pi}{12}.$$

б) $$\cos 3x=\frac{\sqrt3}{2}, \quad x\in[-\pi;\pi].$$

Тогда

$$3x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}.$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

$$x=-\frac{13\pi}{18},\ -\frac{11\pi}{18},\ -\frac{\pi}{18},\ \frac{\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{13\pi}{18}.$$

в) $$\tg\frac{x}{2}=\frac{\sqrt3}{3}, \quad x\in[-3\pi;3\pi].$$

Так как $$\arctg\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{6},$$ то

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

следовательно,

$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

На отрезке $$[-3\pi;3\pi]$$ получаем:

$$x=-\frac{5\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$

г) $$\ctg 4x=-1, \quad x\in[0;\pi].$$

Так как $$\operatorname{arcctg}(-1)=\frac{3\pi}{4},$$ то

$$4x=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{3\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{3\pi}{16},\ \frac{7\pi}{16},\ \frac{11\pi}{16},\ \frac{15\pi}{16}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{12},\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{11\pi}{12},\ \frac{17\pi}{12},\ \frac{19\pi}{12}$$;

б) $$-\frac{13\pi}{18},\ -\frac{11\pi}{18},\ -\frac{\pi}{18},\ \frac{\pi}{18},\ \frac{11\pi}{18},\ \frac{13\pi}{18}$$;

в) $$-\frac{5\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}$$;

г) $$\frac{3\pi}{16},\ \frac{7\pi}{16},\ \frac{11\pi}{16},\ \frac{15\pi}{16}.$$