Упр.18.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[0; 2\pi]$$:
а) $$(\sin x-\frac{1}{2})(\sin x+1)=0$$;
б) $$(\cos x+\frac{1}{2})(\cos x-1)=0$$;
в) $$(\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2})(\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2})=0$$;
г) $$(1+\cos x)(\sqrt{2}\sin x-1)=0$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$\left(\sin x-\frac12\right)(\sin x+1)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin x-\frac12=0 \quad \text{или} \quad \sin x+1=0.$$

Отсюда

$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-1.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2}.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$\left(\cos x+\frac12\right)(\cos x-1)=0.$$

Тогда

$$\cos x+\frac12=0 \quad \text{или} \quad \cos x-1=0,$$

то есть

$$\cos x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ 0,\ 2\pi.$$

Ответ: $$0,\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ 2\pi.$$

в) Рассмотрим уравнение

$$\left(\cos x-\frac{\sqrt2}{2}\right)\left(\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\right)=0.$$

Тогда

$$\cos x-\frac{\sqrt2}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\frac{\sqrt2}{2}=0,$$

то есть

$$\cos x=\frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}.$$

г) Рассмотрим уравнение

$$\left(1+\cos x\right)\left(\sqrt2\sin x-1\right)=0.$$

Тогда

$$1+\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt2\sin x-1=0,$$

то есть

$$\cos x=-1 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac{\sqrt2}{2}.$$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:

$$x=\pi,\ \frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4}.$$

Ответ: $$\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \pi.$$