Упр.18.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\sin^2 x+\sin x\cdot\cos x=0$$; б) $$\sqrt{3}\sin x\cdot\cos x+\cos^2 x=0$$; в) $$\sin^2 x=3\sin x\cdot\cos x$$; г) $$\sqrt{3}\cos^2 x=\sin x\cdot\cos x$$.

а) $$\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x(\sin x+\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0$$

Если $$\sin x=0,$$ то

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Если $$\sin x+\cos x=0,$$ то

$$\tg x=-1,$$

значит,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pi n,\; -\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

б) $$\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(\sqrt{3}\sin x+\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$

Если $$\cos x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Если $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0,$$ то

$$\tg x=-\frac{1}{\sqrt{3}},$$

значит,

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; -\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

в) $$\sin^2 x=3\sin x\cos x$$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\sin^2 x-3\sin x\cos x=0$$

$$\sin x(\sin x-3\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x-3\cos x=0$$

Если $$\sin x=0,$$ то

$$x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Если $$\sin x-3\cos x=0,$$ то

$$\tg x=3,$$

значит,

$$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pi n,\; \arctg 3+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

г) $$\sqrt{3}\cos^2 x=\sin x\cos x$$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\sqrt{3}\cos^2 x-\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(\sqrt{3}\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\cos x-\sin x=0$$

Если $$\cos x=0,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Если $$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0,$$ то

$$\tg x=\sqrt{3},$$

значит,

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$