Упр.18.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение: а) $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$$; б) $$\sin x+\cos x=0$$; в) $$\sin x-3\cos x=0$$; г) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$.

а) $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos x$$:

$$\tg x+\sqrt{3}=0$$

$$\tg x=-\sqrt{3}$$

Тогда

$$x=-\arctg \sqrt{3}+\pi n=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$\sin x+\cos x=0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos x$$:

$$\tg x+1=0$$

$$\tg x=-1$$

Следовательно,

$$x=-\arctg 1+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

в) $$\sin x-3\cos x=0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos x$$:

$$\tg x-3=0$$

$$\tg x=3$$

Значит,

$$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

г) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos x$$:

$$\sqrt{3}\tg x+1=0$$

$$\tg x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Тогда

$$x=-\arctg \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; в) $$x=\arctg 3+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; г) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$.